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Inhaltsverzeichnis

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Vorwort zum ersten Teil

 

§1. Die Entwicklung reziproker Potenzen analytischer Funktionen

 

1.        Die Entwicklung der Form f(z)-1: Das System der Exponenten pki

2.        Die Entwicklung der Form f(z)-m : Die Koeffizienten Rk(m)

3.        Tabellarische Aufstellung der Lösungen von (I.9) für k=1,2, … ,8

 

3.1.   Ein Beispiel zur Anwendung der Koeffizienten Rk(m)

3.2.   Einige Theoreme, welche die Rk(m) erfüllen

3.3.   Einige Theoreme über die arithmetischen Reihen

3.4.  Die Kombinatorische Deutung der Exponenten pki:

                   Eine Aufgabe von GAUSS

 

4.        Anwendungen der Entwicklung reziproker Funktionen und der Koeffizienten Rk(m)

 

4.1.   Entwicklung der arithmetischen Reihen Sλn in Potenzen von n

4.2.   Die Darstellung der BERNOULLI´schen Zahlen durch die pki

4.3.   Die Darstellung der Potenzsummen Sλn(ς) der Wurzeln algebraischer Gleichungen und die Rk(m )

                                 4.3.1.   Die Verallgemeinerung des Satzes von GAMBIOLI

4.4.   Die Reduktion der Potenzen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung

 

  4.4.1.   Bestimmung des Restpolynoms einer Polynomdivision

  4.4.2.   Bestimmung des Quotientenpolynoms einer Polynomdivision

  4.4.3.   Teilbarkeit eines Polynoms

 

      4.5      Die Entwicklung der Form dk{ F[g(x)]}/dxk:  Die Formel von FAA di BRUNO

      4.6.     Eine Anwendung auf die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

 

 

§2. Die Bildung der Inversen φ(z) einer analytischen Funktion

 

 

1.    Die Inverse φ(z) der schlichten Funktion f(z)

2.    Die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung

3.    Die Inverse φν(z) von analytischen Funktionen, bei denen die ersten ν

       Ableitungen verschwinden

4.    Die reelle Lösung der trinomischen Gleichung z5+A zm – B=0 und ihre Darstellung durch

       die verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen F[ a, b, c, d | u, v, w | z ]

     Kosten des Automobilverkehrs von der Geschwindigkeit des Automobils

 

§3. Das Theorem von BÜRMANN

 

1.    Die BÜRMANN´sche Reihe der Funktion f(z) in Potenzen der schlichten Funktion Φ(z)

 

       1.1.    Die explizite Darstellung der BÜRMANN´schen Reihe

       1.2.    Die Entwicklung einer schlichten Funktion nach ihrer Ableitung

 

2.    Die BÜRMANN´sche Reihe der Funktion f(z) in Potenzen von Funktionen Φ(z),

bei denen die ersten ν Ableitungen verschwinden

3.    Die Darstellung der Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen

durch BÜRMANN´sche Reihen

 

4.    Drei Beispiele zur Anwendung der BÜRMANN´schen Reihen: Raketenbewegung

 

 

§4. Das Theorem von TEIXEIRA

 

§5. Das Theorem von LAGRANGE

 

1.   Die Darstellung der Lösungen der essentiellen Gleichung ρn-ρ+ω=0

 

§6. Die Theorie der kubischen Gleichung:

Die TSCHIRNHAUSS- Transformation und die essentielle Form ρ3- ρ +ω=0

 

1.   Die Darstellung der essentiellen Form der kubischen Gleichung

2.   Die Bestimmung von ρ(ω) durch Radikale

3.   Die praktische Berechnung der Lösung ρ(ω) der eG3

 

§7. Die Differentialgleichungen der Lösungen der essentiellen kubischen Gleichung

 

1.   Die nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung der Funktion ρ(ω)

2.   Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung der Funktion ρ(ω)

3.   Die Lösungen der essentiellen kubischen Gleichung mit komplexem ω

 

      3.1.     Die Lage der Lösungen der keG3 in der komplexen Ebene

      3.2.     Die Darstellung des LK3 durch eine einzige Wurzel der keG3

      3.3.     Die Kurven, auf denen, und innerhalb derer die Wurzeln der keG3

                 in der komplexen Ebene liegen

      3.4.     Die reellen eG3, welche vom Realteil und Imaginärteil der Lösungen ρ(ω)

                 der keG3 erfüllt werden: Die Ortskurven in der komplexen Ebene

 

 

§8. Beispiele zur Anwendung der Lösung der kubischen Gleichung

 

1.   Die elementaren Aufgaben

 

      1.1.     Numerische Beispiele zur Anwendung der Lösungsformel

      1.2.     Geometrische Beispiele zur Anwendung der Lösungsformel

      1.3.     Die Bestimmung der Form der Kettenlinie:

                 Eine handliche Näherungsformel

      1.4.     Die Bestimmung der RONCHI-Linien eines Parabolspiegels

      1.5.     Die grafische Bestimmung der reellen Lösung einer eG3: Die Cissoide

 

2.   Die Anwendung auf die asymptotische Entwicklung der HANKEL´schen Funktionen


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